Question

已知角A、B為銳角，且cos（A+B）•sinB=sinA，則tanA的最大值是（　　）

• A．

  2

  4

• B．

  2

  2

• C．3

  2

• D．2

  2

Answer 1

分析：由條件可得-cosCsinB=sinA，利用正弦定理和余弦定理可得3a²+b²=c²，由 tan²A=

1

cos2A

-1，且A為銳角，判斷知，
求tanA的最大值即求cosA的最小值，由基本不等式求出cosA的最小值，從而求得tanA的最大值．

解答：解：由cos（A+B）sinB=sinA得-cosCsinB=sinA，
利用正弦定理和余弦定理，-

a2+b2-c2

2ab

×b=a，化簡可得 3a²+b²=c²．
由 tan²A=

1

cos2A

-1，且A為銳角可得，可得 cosA＞0，tanA＞0．
只要求出cosA的最小值，就可求得tanA的最大值．
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2b2+c2

3bc

≥

2 2

3

，當且僅當

2

b=c時，等號成立．
即cosA的最小值為

2 2

3

． 故tan²A 的最大值為

1

8

，
故tanA的最大值

1 8

=

2

4

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦定理和余弦定理、基本不等式的應用，屬于中檔題．