Question

已知函數f(x)=

(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在單調增區間，求a的取值范圍；

(2)是否存在實數a>0，使得方程在區間內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，求出a的取值范圍？若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ） a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞) （Ⅱ）a的取值范圍是(1, )

解析:

（1）由已知，得h(x)=  且x>0, 

        則hˊ(x)=ax+2-=,   （2分）

       ∵函數h(x)存在單調遞增區間,

∴hˊ(x)≥0有解, 即不等式ax²+2x-1≥0有x>0的解.  （3分）

當a<0時, y=ax²+2x-1的圖象為開口向下的拋物線, 要使ax²+2x-1≥0總有x>0的解, 則方程ax²+2x-1=0至少有一個不重復正根, 而方程ax²+2x-1=0總有兩個不相等的根時, 則必定是兩個不相等的正根. 故只需Δ=4+4a>0, 即a>-1. 即-1<a<0（5分）

當a>0 時, y= ax²+2x-1的圖象為開口向上的拋物線,  ax²+2x-1≥0 一定有x>0的解.     （6分）           

綜上, a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞)   （7分）

  （2）方程

即為

      等價于方程ax²+(1-2a)x-lnx=0 .    （8分）

      設H(x)= ax²+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在區間()內根的問題, 轉化為函數H(x)在區間()內的零點問題.     （9分） 

     Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-=  （10分）

   當x∈(0, 1)時, Hˊ(x)<0,  H(x)是減函數；  

當x∈(1, +∞)時, Hˊ(x)>0,  H(x)是增函數；  

若H(x)在()內有且只有兩個不相等的零點, 只須

       （13分）

解得, 所以a的取值范圍是(1, )        （14分）