Question

．(本小題滿分13分)
以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.
（Ⅰ）求橢圓及其“準圓”的方程；
（Ⅱ）若橢圓的“準圓”的一條弦（不與坐標軸垂直）與橢圓交于、兩點，試證明：當時，試問弦的長是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程為；橢圓的“準圓”方程為.
（Ⅱ）弦的長為定值.

本試題主要是考查了圓錐曲線方程的求解以及直線與圓錐曲線你的位置關系的綜合運用。體現了運用代數的方法解決解析幾何的本質思想
（1）因為以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.可知系數a,c關系式，再結合a,b,,c關系求解得到結論。
（2）假設弦的長是為定值，那么由于橢圓的“準圓”的一條弦（不與坐標軸垂直）與橢圓交于、兩點，并且時，聯立方程組結合韋達定理和向量的垂直關系得到結論。
解：（Ⅰ）設橢圓的左焦點，由得，又，即且，所以，
則橢圓的方程為；橢圓的“準圓”方程為.………6分
（Ⅱ）設直線的方程為，且與橢圓的交點，
聯列方程組  代入消元得： 
由                     ………8分
可得 由得即， 所以………10分
此時成立，
則原點到弦的距離,
得原點到弦的距離為，則，
故弦的長為定值. ……………………………13分