Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x－6x+1與坐標軸的交點都在圓C上．
(Ⅰ)求圓C的方程；
(Ⅱ)試判斷是否存在斜率為1的直線，使其與圓C交于A， B兩點，且OA⊥OB，若存在，求出該直線方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）該直線存在，其方程為.

解析試題分析：（Ⅰ）曲線與軸的交點為，
與軸的交點為，
故可設的圓心為，
則有，
解得
則圓的半徑為，
所以圓的方程為               4分
（Ⅱ）假設直線存在，依題意，設直線方程為，
并設，
由，消去
得到方程
由已知可得，判別式
因此，
從而，   ①
由于，可得
又，
所以    ②
由①，②得，滿足
所以該直線存在，其方程為           8分
考點：直線與圓的位置關系，直線方程，平面向量的數量積。
點評：中檔題，中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。恰當的運用圓中的“特征三角形”，轉化成點到直線的距離問題，更為簡潔。對存在性問題，常常是先假設存在，應用已知條件，確定其存在性，達到解體目的。本題較難。