Question

已知橢圓：的離心率為，右焦點到直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點F₂斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于點，線段的中點為，記直線的斜率為，求證：為定值．

Answer 1

（1）．（2）證明見解析.

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質，建立的方程組即得；
（2）要證明為定值，須從確定兩直線斜率的表達式入手.根據題目的條件，應注意設出的直線方程，并與橢圓方程聯立，應用韋達定理，建立與坐標的聯系；確定的坐標，將斜率用坐標表示.得到，的關系即得證.
設過點 的直線方程為：，，點，
將代入橢圓整理得： 
應用韋達定理   ；
根據直線的方程為：，直線的方程為：
令，得點，，點 ；
由直線 的斜率為
，
將代入上式得到，的關系即得證.
試題解析：（1）由題意得，，                      2分
所以，，所求橢圓方程為．                  4分
（2）設過點 的直線方程為：，
設點，點                                         5分
將直線方程代入橢圓
整理得：                           6分
因為點在橢圓內，所以直線和橢圓都相交，恒成立，
且                         7分
直線的方程為：，直線的方程為：
令，得點，，
所以點的坐標                            9分
直線 的斜率為
      11分
將代入上式得：

所以為定值                                       13分