Question

已知等比數列{a_n}各項都是正數，a₁=3，a₁+a₂+a₃=21，S_n為{a_n}的前n項和，
（Ⅰ）求通項a_n及S_n；
（Ⅱ）設{b_n-a_n}是首項為1，公差為3的等差數列，求數列{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，代入已知可得關于q的方程，解之可得q，代入等比數列的通項公式和求和公式可得；（Ⅱ）可得b_n=3×2^n-1+3n-2，分別由等差數列和等比數列的求和公式可得．
解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，則q＞0，
代入已知可得3+3q+3q²=21，解得q=2，或q=-3（舍去），
故a_n=3×2^n-1，S_n==3×2^n-1-3；
（Ⅱ）∵{b_n-a_n}是首項為1，公差為3的等差數列，
∴b_n-a_n=1+3（n-1）=3n-2，即b_n=3×2^n-1+3n-2
故T_n=3（1+2+2²+…+2^n-1）+（1+4+7+…+3n-2）
=+=3×2ⁿ-3+
點評：本題考查等比數列和等差數列的求和公式，屬中檔題．