Question

已知函數f（x）=ax²+lnx（x＞0），g（x）=2x（x∈R），函數h（x）=f（x）-g（x）在區間（0，+∞）上為增函數．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）設f′（x）、h′（x）分別是f（x）、h（x）的導函數，若方程h′（x）=0在區間（0，+∞）上有唯一解，
①令函數m_n（x）=[f′（x）]ⁿ-f（xⁿ+

1

xn

），其中n∈N^*且n≥2.2函數y=m_n（x）在區間（0，+∞）上的最小值；
②求證：對任意的正實數x，都有

n

i=2

1

mi(x)

＜

5

6

．

Answer 1

分析：（1）把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）=f（x）-g（x）中得到h（x）的解析式，求出h′（x），由已知函數為增函數得到當x大于0時導函數恒大于等于0，解出2a大于等于一個函數，求出這個函數的最大值，列出關于a的不等式，求出a的范圍即可；
（2）①令h′（x）=0，根據此方程有唯一的正實數解得到△=0，求出a的值，①求出m′_n（x），分解因式并把各項列舉出來，當n大于等于3時，利用二項式定理判斷導函數的正負即可得到函數的單調性，根據函數的增減性得到函數的最小值為m_n（1）；把n等于2代入函數解析式中得到m₂（x）的值也符合最小值的代數式，綜上得到當n大于等于2.2時函數的最小值；
②根據①得到m_n（x）的最小值為2^x-2，當n大于等于3時求出倒數即可得到

1

mn(x)

小于等于

1

2n-2

，又放大不等式得到其值小于等于(

1

2

)n+(

1

4

)n-1，同時n等于2等于(

1

2

)n+(

1

4

)n-1，列舉出不等式的左邊各項，利用推出的不等式和等比數列的求和公式得證．

解答：解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=ax²+lnx-2x，
∴h′（x）=2ax+

1

x

-2．
由已知，當x＞0時，h′（x）=2ax+

1

x

-2≥0恒成立推出2a≥(

2

x

-

1

x2

) max．
易求當x＞0時，函數y=

2

x

-

1

x2

的最大值為1，
∴2a≥1，解得a≥

1

2

；

（2）h′（x）=2ax+

1

x

-2=0，即2ax²-2x+1=0有唯一正實數解．
由（1）知a≥

1

2

，∴△=4-8a=0解得a=

1

2

．
①m_n（x）=(x+

1

x

)n-（xⁿ+

1

xn

），
∴m′_n（x）=n(x+

1

x

)n-1（1-

1

x2

）-（nx^n-1-

n

xn+1

）
=n[

(1+x2)n-1(x2-1)

xn+1

-

x2n-1

xn+1

]
=n•

x2-1

xn+1

[（1+x²）^n-1-（x⁰+x²+x⁴+…+x^2n-2）]
當n≥3時，由二項式定理知（1+x²）^n-1＞x⁰+x²+x⁴+…+x^2n-2（x＞0）．
∴當x∈（0，1）時，m′_n（x）＜0，即函數y=m_n（x）在（0，1）上遞減．
當x∈（1，+∞）時，m′_n（x）＞0，即函數y=m_n（x）在（1，+∞）上遞增．
∴當n≥3時，函數y=m_n（x）的最小值為m_n（1）=2ⁿ-2．
又當n=2時，m₂（x）=2
∴函數y=m_n（x）的最小值為m_n（1）=2ⁿ-2；
②

1

mn(x)

≤

1

2n-2

=

1

2n-1

•

2n-1

2n-2

＜

1

2n-1

•

2n-1+2

2n

=

1

2n

（1+

1

2n-2

）=(

1

2

)n+(

1

4

)n-1（n≥3）．
當n=2時，

1

2n-2

=(

1

2

)n+(

1

4

)n-1
∴

n

i=2

1

mi(x)

＜

n

i=2

[(

1

2

)i+(

1

4

)i-1]=

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

+

1 4 [1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

=

1

2

-(

1

2

)n+

1

3

-

1

3

(

1

4

)n-1＜

5

6

點評：此題考查學生會利用導函數的正負確定原函數的單調區間，會根據函數的增減性求出函數的最值，掌握導數在函數最值中的應用，靈活運用二次項定理及等比數列的前n項和的公式化簡求值，是一道比較難的題．