Question

（2012•成都一模）已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），則下列說法正確的是（　　）

A．f（3）=1

B．函數f（x）在[-6，-2]上是增函數

C．函數f（x）x=4關于直線對稱

D．若關于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和為-8，則一定有m∈（0，1）

Answer 1

分析：取x=1，得f（3）=-f（-3）=1；f（x-4）=f（-x），則f（x-2）=f（-x-2），利用函數f（x）關于直線x=-2對稱，可得函數f（x）在[-6，-2]上是減函數；若m∈（0，1），則關于x的方程f（x）-m=0中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，反之不一定成立．故可得結論．

解答：解：取x=1，得f（1-4）=-f（1）=-log₂（1+1）=-1，所以f（3）=-f（-3）=1，故A正確；
奇函數f（x），x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），
∴x∈[-2，2]時，函數為單調增函數，
∵函數f（x）關于直線x=-2對稱，
∴函數f（x）在[-6，-2]上是減函數，故B不正確；
定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），
則f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函數f（x）關于直線x=-2對稱，故C不正確；
若m∈（0，1），則關于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個根，
其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，所以所有根之和為-8．
反之，不一定成立，故D不正確．
故選A．

點評：本題考查函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．