Question

（2011•南匯區二模）函數f(x)=

ax2+bx+c

的圖象關于任意直線l對稱后的圖象依然為某函數圖象，則實數a，b，c應滿足的充要條件為

a＜0，b²-4ac=0

．

Answer 1

分析：函數關于任意直線l對稱后的圖象依然為某函數圖象，根據函數的定義中，象的唯一性，我們可得不論函數f(x)=

ax2+bx+c

的圖象怎么變換，函數圖象均不會與平行于y軸的直線有兩個或兩個以上的交點，則函數的圖象必然是一個點，再結合函數y=ax²+bx+c的性質，我們易得當且僅當ax²+bx+c∈{0}時，滿足要求，進而即可求出f（x）中a，b，c應滿足a＜0，b²-4ac=0．

解答：解：∵函數 f（x）=ax²+bx+c的圖象關于任意直線l對稱后的圖象依然為某函數圖象
則函數圖象必是一個點
結合函數y=ax²+bx+c的性質
當且僅當y=0時，有且只有一個x與之對應
故只有ax²+bx+c=0時，滿足要求．故ax²+bx+c≤0在R上恒成立，所以a＜0，b²-4ac=0
故答案為；a＜0，b²-4ac=0．

點評：本題考查的知識點是函數的定義，理解函數的概念，并由此根據函數的圖象關于任意直線l對稱后的圖象依然為某函數圖象，得到函數f(x)=

ax2+bx+c

的圖象必為一個點，是解答本題的關鍵．