Question

已知偶函數f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)在（0，+∞）上單調遞減．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若f（2a+1）=f（a），求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)在（0，+∞）上單調遞減，根據冪函數在（0，+∞）上的單調性與指數的關系，得到m²-2m-3＜0，結合m∈Z，易函數f（x）為偶函數即m²-2m-3為偶數，我們易求出對應的m值，進而得到函數f（x）的解析式；
（2）由已知中函數f（x）為偶函數，我們可將f（2a+1）=f（a），轉化為|2a+1|=|a|，根據絕對值的定義，解絕對值方程，即可得到答案．

解答：解：（1）由m²-2m-3＜0得-1＜m＜3又m∈Z
∴m=0或1或2而m²-2m-3為偶數
∴m²-2m-3=-4，∴f（x）=x^-4
（2）∵函數f（x）為偶函數，若f（2a+1）=f（a），
則|2a+1|=|a|，
即2a+1=a或2a+1=-a
∴a=-1或a=-

1

3

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點評：本題考查的知識點是冪函數的性質，絕對值方程的解法，偶函數的性質，其中（1）的關鍵是熟練掌握冪函數的單調性，奇偶性，定義域與指數的關系，（2）的關鍵是利用偶函數的性質，將抽象方程，轉化為絕對值方程．