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設雙曲線M：
x2
a2
-y2=1，點C（0，1），若直線
x=
2
2
t
y=1+
2
2
t
（t為參數）交雙曲線的兩漸近線于點A、B，且
.
BC
=2
.
AC
，則雙曲線的離心率為（　　）
A、
5
2
B、
10
3
C、
5
D、
10
分析：先求出直線AB的方程以及雙曲線的兩漸近線方程，聯立求出點A、B的坐標以及向量的坐標，再代入已知條件即可求出a，進而求出雙曲線的離心率．
解答：解：因為直線
x=
2
2
t
y=1+
2
2
t
（t為參數）的一般方程為y=x+1，雙曲線的兩漸近線方程為y=
1
a
x，y=-
1
a
x，
聯立
y=x+1
y=
1
a
x
?
x=
a
1-a
y=
1
1-a
，即A（
a
1-a
，
1
1-a
)，
聯立
y=x+1
y=-
1
a
x
?
x=
a
a+1
y=-
1
a+1
，即B（
a
a+1
， -
1
a+1
）．
所以
BC
=(-
a
a+1
， 1+
1
a+1
)，
AC
=（-
a
1-a
， 1-
1
1-a
），
又因為
BC
=2
AC
?-
a
a+1
=2×（-
a
1-a
）?a=-
1
3
．
所以離心率e=
a2+1
|a|
=
10
．
故選D．
點評：本題是對直線與雙曲線位置關系以及雙曲線性質的綜合考查．是對課本知識的考查，是基礎題，重點考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，點A、B分別為雙曲線C實軸的左端點和虛軸的上端點，點F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點，點M、N是雙曲線C的右支上不同兩點，點Q為線段MN的中點．已知在雙曲線C上存在一點P，使得
PA
+
PB
+
PF2
=(
3
-3)
OP
．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率；
（Ⅱ）設a為正常數，若點Q在直線y=2x上，求直線MN在y軸上的截距的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線M：
x2
a2
-y2=1，點C（0，1），若直線y=x+1交雙曲線的兩漸近線于點A、B，且
BC
=2
CA
，則雙曲線的離心率為（　　）
A、
5
2
B、
10
3
C、
5
D、
10

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科目：高中數學 來源： 題型：

設雙曲線M：
x2
a2
-y2=1，過點C（0，1）且斜率為1的直線交雙曲線的兩漸近線于點A、B．若
BC
=2
AC
，則雙曲線的離心率為（　　）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設雙曲線M：
x2
a2
-y2=1，過點C（0，1）且斜率為1的直線交雙曲線的兩漸近線于點A、B．若
BC
=2
AC
，則雙曲線的離心率為（　　）
A．
5
2
B．
10
3
C．
5
D．
10

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