Question

已知A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的公共頂點．過坐標原點O作一條射線與橢圓、雙曲線分別交于M，N兩點，直線MA，MB，NA，NB的斜率分別記為k₁，k₂，k₃，k₄，則下列關系正確的是（　　）

A．k₁+k₂=k₃+k₄

B．k₁+k₃=k₂+k₄

C．k₁+k₂=-（k₃+k₄）

D．k₁+k₃=-（k₂+k₄）

Answer 1

分析：設出點的坐標，求出斜率的和，利用點在曲線上，化簡，即可得到結論．

解答：解：設M（x，y），則k₁+k₂=

y

x+a

+

y

x-a

=

2xy

x2-a2

∵

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，∴

y

x2-a2

=-

b2

a2y

，∴k₁+k₂=-

2b2x

a2y

設N（x′，y′），則k₃+k₄=

y′

x′+a

+

y′

x′-a

=

2x′y′

x′2-a2

∵

x′2

a2

-

y′2

b2

=1(a＞0，b＞0)，∴

y′

x′2-a2

=

b2

a2y′

，∴k₃+k₄=

2b2x′

a2y′

∵O，M，N共線
∴

y

x

=

y′

x′

∴k₁+k₂=-（k₃+k₄）
故選C．

點評：本題考查橢圓與雙曲線的綜合，考查斜率的計算，正確計算是關鍵．