Question

已知函數，，

（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；

（Ⅱ）設函數,當存在最小值時，求其最小值的解析式；

（Ⅲ）對（Ⅱ）中的，證明：當時， .

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）a=， y－e= (x－e²)(II) （Ⅲ）利用函數的單調性證明

【解析】

試題分析：（Ⅰ）=,=(x>0),

由已知得 解得a=，x=e²,

∴兩條曲線交點的坐標為(e²,e) 切線的斜率為k=f’(e²)=

∴切線的方程為 y－e= (x－e²)

(II)由條件知h(x)=–aln x(x＞0),

（i）當a>0時，令解得，

∴當0 << 時，，在（0，）上遞減；

當x>時，，在上遞增.

∴是在上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是的最小值點.

∴最小值

（ii）當時，在（0，+∞）上遞增，無最小值。

故的最小值的解析式為

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

則，令解得.

當時，，∴在上遞增；

當時，，∴在上遞減.

∴在處取得最大值

∵在上有且只有一個極值點，所以也是的最大值.

∴當時，總有

考點：本題考查了導數的運用

點評：導數本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數甚至是實際問題考查導數的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規方法和常見注意點