Question

（2008•盧灣區一模）設函數f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a為實數）．
（1）若f（x）為偶函數，求實數a的值； 
（2）設a＞2，求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的定義可得f（-x）=f（x）然后代入即可求出a
（2）可根據絕對值的定義可將函數f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a為實數）轉化為）f(x)=

x2+2x-a，x≥ 1 2 a x2-2x+a，x＜ 1 2 a

然后根據a＞2再結合一元二次函數的單調性可求出f（x）在各段的最小值然后比較兩個最小值的大小則較小的最小值即為所求．

解答：解：（1）由已知f（-x）=f（x），即|2x-a|=|2x+a|，解得a=0
（2）f(x)=

x2+2x-a，x≥ 1 2 a x2-2x+a，x＜ 1 2 a

當x≥

1

2

a時，f（x）=x²+2x-a=（x+1）²-（a+1）
由a＞2，x≥

1

2

a，得x＞1，從而x＞-1
故f（x）在x≥

1

2

a時單調遞增，f（x）的最小值為f(

a

2

)=

a2

4

當x＜

1

2

a時，f（x）=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1）
故當1＜x＜

a

2

時，f（x）單調遞增，當x＜1時，f（x）單調遞減
則f（x）的最小值為f（1）=a-1
由

a2

4

-(a-1)=

(a-2)2

4

＞0，知f（x）的最小值為a-1．

點評：本題主要考查了偶函數的概念和利用一元二次函數的單調性求最小值．解題的關鍵是第一問要知道f（x）為偶函數則必有f（-x）=f（x）而第二問首先要根據絕對值的意義將所給函數化為熟知的分段函數然后結合a的取值范圍和每一段的一元二次函數的單調性求出每一段的最小值最后只需比較兩最小值的大小取較小的即可！