Question

已知函數f(x)= x/4+ln(x-2)/(x-4),(1)求函數f)x)的定義域和極值;(2)若函數(fx)在區間[a²-5a,8-3a]上為增函數,求實數a的取值范圍;(3)函數f(x)的圖象是否為中心對稱圖形?若是請指出對稱中心,并證明;若不是,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：

（1）；

（2）或；

（3）中心對稱圖形,對稱中心是(3, 3/4).

【解析】

求函數f)x)的定義域 (x-2)/(x-4)，求極值時，令導數為0，，得出x；若函數(fx)在區間[a²-5a,8-3a]上為增函數，則導函數在[a²-5a,8-3a]恒非負；根據函數圖像，若有對稱中心，則是中心一定在兩極值點的中心(3, 3/4)，證明時，只需證明點均在函數圖像上。

（1）函數的定義域為(－∞,2)∪(4,+∞),由得:x=0或x=6,所以

	(－∞,0)	0	(0,2)	(4,6)	6	(6,＋∞)
	+	0	-	-	0	+
	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

（2）由⑴知或所以或

（3）由⑴知函數的圖象若是中心對稱圖形,則中心一定在兩極值點的中心(3, 3/4),下面證明:

設是函數的圖象上的任意一點,則是它關于(3, 3/4)的對稱點,而,即也在函數的圖象上.所以函數的圖象是中心對稱圖形,其中心是(3, 3/4)