Question

已知函數f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若數列x_n的項滿足x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，試求x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）猜想數列x_n的通項，并用數學歸納法證明．

Answer 1

（1）∵f(x)=

bx+1

(ax+1)2

(x≠-

1

a

，a＞0)，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
∴

b+1

(a+1)2

=log₁₆2=

1

4

，

-2b+1

(-2a+1)2

=1
解得：

a=1 b=0

∴函數f(x)=

1

(x+1)2

（2）由（1）中f(x)=

1

(x+1)2

∴x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，
當n=1時，x1=

3

4

．
當n=2時，x2=

4

6

，
當n=3時，x3=

5

8

，
當n=4時，x4=

6

10

（3）由（2）中結論我們易得：xn=

n+2

2(n+1)

．
當n=1時，結論顯然成立
設n=k時，結論成立，即xk=

k+2

2(k+1)

則當n=k+1時，xk+1=xk•[1-

1

(k+2)2

]=

k+2

2(k+1)

•[1-

1

(k+2)2

]=

(k+2)+1

2[(k+1)+1]

即n=k+1時，結論也成立．
故xn=

n+2

2(n+1)

．