Question

某校一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，一個(gè)密封的箱子內(nèi)裝有分別寫(xiě)上y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六個(gè)函數(shù)的六張外形完全一致的卡片（一張卡片一個(gè)函數(shù)），參與者有放回的抽取卡片，參與者只參加一次．如果只抽一張，抽得卡片上的函數(shù)是其它某一張卡片上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，抽取者將獲得三等獎(jiǎng)；如是先后各抽一張，抽出的卡片中，其中一張上的函數(shù)是另一張卡片上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，抽取者將獲得二等獎(jiǎng)；如果先后各抽一張，第一張卡片上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是第二張卡片上的函數(shù)，抽取者將獲得一等獎(jiǎng)．
（Ⅰ）求學(xué)生甲抽一次獲得三等獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）求學(xué)生乙抽一次獲得二等獎(jiǎng)的概率；
（Ⅲ）求學(xué)生丙抽一次獲得一等獎(jiǎng)的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在所給的六個(gè)函數(shù)中，有y=cosx，y=

1

x

，y=-

1

x2

這三個(gè)函數(shù)可作為其它函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由此求得學(xué)生甲抽一次獲得三等獎(jiǎng)的概率．
（Ⅱ）在六個(gè)函數(shù)的卡片中，先后抽兩次，不同的抽法有36種．其中，有7種抽法滿足得二等獎(jiǎng)的要求，由此求得學(xué)生乙抽一次獲得二等獎(jiǎng)的概率．
（Ⅲ）在六個(gè)函數(shù)的卡片中，先后抽兩次，不同的抽法有36種．其中，有4種抽法滿足得一等獎(jiǎng)的要求，由此求得學(xué)生丙抽一次獲得一等獎(jiǎng)的概率．

解答：解：（Ⅰ）在y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六個(gè)函數(shù)中，y=cosx，y=

1

x

，y=-

1

x2

這三個(gè)函數(shù)可作為其它函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
設(shè)“學(xué)生甲抽一次獲得三等獎(jiǎng)”為事件A，∴P(A)=

3

6

=

1

2

．…4分
（Ⅱ）在y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六個(gè)函數(shù)的卡片中，先后抽兩次，不同的抽法有36種，
其中，y=sinx，y=cosx組合兩種，y=e^x，y=e^x組合一種，y=

1

x

，y=-

1

x2

組合兩種，lnx，y=

1

x

組合兩種，共計(jì)7種都滿足得二等獎(jiǎng)的要求．
設(shè)“學(xué)生乙抽一次獲得二等獎(jiǎng)”為事件B，∴P(B)=

7

36

．…8分
（Ⅲ）在y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六個(gè)函數(shù)的卡片中，先后抽兩次，不同的抽法有36種．
其中，y=sinx，y=cosx組合1種，y=e^x，y=e^x組合1種，y=

1

x

，y=-

1

x2

組合1種，lnx，y=

1

x

組合1種，共計(jì)4種都滿足得一等獎(jiǎng)的要求．
設(shè)“學(xué)生丙抽一次獲得一等獎(jiǎng)”為事件C，∴P(C)=

4

36

=

1

9

．
答：甲乙丙三人各得三、二、一等獎(jiǎng)的概率分別是

1

2

、

7

36

、

1

9

．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．