Question

設函數y＝f(x)，對任意實數x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.

(1)求f(0)的值；

(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；

(3)在(2)的條件下，猜想f(n)(n∈N_＋)的表達式并用數學歸納法證明.

Answer 1

【解析】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.

(2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4.

f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9.

f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.

(3)由(2)可猜想f(n)＝n²，

用數學歸納法證明：

(i)當n＝1時，f(1)＝1²＝1顯然成立.

(ii)假設當n＝k時，命題成立，即f(k)＝k²，

則當n＝k＋1時，

f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1

＝k²＋1＋2k＝(k＋1)²，

故當n＝k＋1時命題也成立，

由(i)，(ii)可得，對一切n∈N_＋都有f(n)＝n²成立.