Question

（2012•杭州一模）對于函數 f（x）與 g（x）和區間E，如果存在x₀∈E，使|f（x₀）-g（x₀）|＜1，則我們稱函數 f（x）與 g（x）在區間E上“互相接近”．那么下列所給的兩個函數在區間（0，+∞）上“互相接近”的是（　　）

• A．f（x）=x²．g（x）=2x-3
• B．（x）=

  x

  ，g（x）=x+2
• C．f（x）=e^-x，g（x）=-

  1

  x

• D．f（x）=lnx，g（x）=x

Answer 1

分析：對照新定義，利用配方法、導數法可確定函數的值域，由此，就可以得出結論．

解答：解：對于A，f（x）-g（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，∴不存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|＜1，∴A不滿足；
對于B，g(x)-f(x)= x+2-

x

=(

x

-

1

2

)2+

7

4

≥

7

4

，∴不存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|＜1，
∴B不滿足；
對于C，h（x）=f(x)-g(x)=e-x+

1

x

，h′（x）=-e-x-

1

x2

＜0，∴函數在（0，+∞）上單調減，
∴x→0，h（x）→1，∴存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|＜1，∴C滿足；
對于D，h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx（x＞0），h′（x）=1-

1

x

，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1時，函數取得極小值，且為最小值，最小值為h（1）=1，∴g（x）-f（x）≥1，
∴不存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|＜1，∴D不滿足；
故選C．

點評：本題重點考查對新定義的理解與運用，考查配方法、導數法求函數的值域，有一定的綜合性．