Question

已知二次函數(shù)同時(shí)滿足：①不等式≤0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立，設(shè)數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和．

（1）求函數(shù)的表達(dá)式；

(2) 設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛｝中，所有滿足的整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列｛｝的變號(hào)數(shù)，令（）,求數(shù)列｛｝的變號(hào)數(shù)；　

（3）設(shè)數(shù)列｛｝滿足：，試探究數(shù)列｛｝是否存在最小項(xiàng)？若存在，求出該項(xiàng)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）    (2) ３

解析:

（１）∵不等式≤0的解集有且只有一個(gè)元素

∴　解得或----------2分

當(dāng)時(shí)函數(shù)在遞增，不滿足條件②

當(dāng)時(shí)函數(shù)在（０，２）上遞減，滿足條件②

綜上得，即----------4分

（２）由（１）知

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)≥２時(shí)＝＝

∴-------6分由題設(shè)可得----7分

∵，，∴，都滿足

∵當(dāng)≥３時(shí)，

即當(dāng)≥３時(shí)，數(shù)列｛｝遞增，∵，由，可知滿足∴數(shù)列｛｝的變號(hào)數(shù)為３。-----9分

（３）∵＝,　由（２）可得：

--------------11分

＝＝-------13分

∵當(dāng)時(shí)數(shù)列｛｝遞增，∴當(dāng)時(shí)，最小, 又∵，

∴數(shù)列｛｝存在最小項(xiàng)------14分

〔或∵＝,由（２）可得：

-----11分

＝

對(duì)于函數(shù)　∵

∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)數(shù)列｛｝遞增，

∴當(dāng)時(shí)，最小，---13分

又∵，　∴數(shù)列｛｝存在最小項(xiàng)---------14分〕