Question

已知函數的周期為，圖象的一個對稱中心為，將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象。
（Ⅰ）求函數與的解析式
（Ⅱ）是否存在，使得按照某種順序成等差數列？若存在，請確定的個數，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求實數與正整數，使得在內恰有2013個零點

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）存在（Ⅲ）當，時，函數在內恰有個零點

（Ⅰ）由函數的周期為，，得
又曲線的一個對稱中心為，
故，得，所以
將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數
（Ⅱ）當時，，
所以
問題轉化為方程在內是否有解
設，
則
因為，所以，在內單調遞增
又，
且函數的圖象連續不斷，故可知函數在內存在唯一零點，
即存在唯一的滿足題意
（Ⅲ）依題意，，令
當，即時，，從而不是方程的解，所以方程等價于關于的方程，
現研究時方程解的情況
令，
則問題轉化為研究直線與曲線在的交點情況
，令，得或
當變化時，和變化情況如下表
當且趨近于時，趨向于
當且趨近于時，趨向于
當且趨近于時，趨向于
當且趨近于時，趨向于
故當時，直線與曲線在內有無交點，在內有個交點；
當時，直線與曲線在內有個交點，在內無交點；
當時，直線與曲線在內有個交點，在內有個交點
由函數的周期性，可知當時，直線與曲線在內總有偶數個交點，從而不存在正整數，使得直線與曲線在內恰有個交點；當時，直線與曲線在內有個交點，由周期性，，所以
綜上，當，時，函數在內恰有個零點
三角函數解析式的確定相對而言應該比較容易，也就是說即使是20題的第一問往往難度也不會太大，而我們同學可能因為時間的關系而丟掉了撿分的機會，所以建議大家可以先試看看此問是否熟悉，再做整體規劃。三角函數的圖像變換要千萬注意左右平移只對x而言。而第二問對于是否等比的轉化是處理的關鍵，所以函數思想無處不在，要善于運用。第三問從特殊到一般的思想是此問的靈魂，而此法的選擇也因為參數分離后三角函數的周期性，所以萬物皆有聯系，只是平時要練就一雙慧眼就不簡單了。
【考點定位】 本題考查了三角函數的性質、恒等變換、圖像以及函數的零點。將函數的所有性質依托于三角函數展示，并且對多方面能力的綜合考查。屬于難題，但第一問是送給學生的。