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已知F是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）右焦點，若F到雙曲線C的漸近線的距離是1，且雙曲線C的離心率e=
6
2
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點A（0，1）的直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點P、Q，且P在A、Q之間，若
AP
=
1
2
AQ
，求直線l的方程．
（1）由對稱性，不妨設一漸近線為y=
b
a
x，右焦點為F（c，0），
則
bc
a2+b2
=1，即b=1又e=
c
a
=
6
2

∴解得a2=2，所以雙曲線C的方程是
x2
2
-y2=1；
（2）設直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，設點P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
y=kx+1
x2-2y2=2
得：（1-2k2）x2-4kx-4=0，
∵l與雙曲線C的右支交于不同的兩點P、Q，
∴
△=16k2+16(1-2k2)＞0
x1+x2=
-4k
2k2-1
＞0
x1x2=
4
2k2-1
＞0
1-2k2≠0

∴
1
2
＜k2＜1且k＜0①
又∵
AP
=
1
2
AQ
，∴(x1，y1-1)=
1
2
(x2，y2-1)x2=2x1
∴3x1=
-4k
2k2-1
，3x1=
-8k
2k2-1

∴9x1x2=
32k2
(2k2-1)2
=9×
4
2k2-1
，k=±
3
10
10
滿足①式．
∴直線l的方程為y=
3
10
10
x+1或y=-
3
10
10
x+1
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知雙曲線C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足|
OA
|、|
OB
|、|
OF
|成等比數列，過F作雙曲線C在第一、第三象限的漸近線的垂線l，垂足為P．
（1）求證：
PA
•
OP
=
PA
•
FP
；
（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，如圖，B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足：|
OA
|，|
OB
|，|
OF
|成等比數列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P
（1）求證：
PA
•
OP
=
PA
•
FP
．
（2）若l與雙曲線C的左右兩支分別相交于點E、D，求雙曲線離心率e的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知F（c，0）是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦點，若雙曲線C的漸近線與圓E：(x-c)2+y2=
1
2
c2相切，則雙曲線C的離心率為
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線y2=8x的焦點F到雙曲線C：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為
4
5
5
，點P是拋物線y2=8x上的一動點，P到雙曲線C的上焦點F1（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為（　　）

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年河南省原名校高三上學期期聯考理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知F是雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點，E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（    ）

A．（1，＋∞）   B．（1，2）        C．（1，1＋）   D．（2，1＋）

 

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