Question

（難應用舉例）已知向量

AB

=(2-k，-1)，

AC

=(1，k)．
（1）若△ABC為直角三角形，求k值；
（2）若△ABC為等腰直角三角形，求k值．

Answer 1

分析：（1）先表示出向量

BC

，對A、B、C分別為直角進行討論即可．
（2）對（1）中解出的k的值進行討論，分別驗證是否為等腰三角形．

解答：解：（1）

AB

=(2-k，-1)，

AC

=(1，k)?

BC

=

AC

-

AB

=(k-1，k+1)
①若∠A=90°，則

AB

⊥

AC

?（2-k，-1）•（1，k）=0，∴k=1；
②若∠B=90°，則

AB

⊥

BC

?（2-k，-1）•（k-1，k+1）=0，得k²-2k+3=0無解；
③若∠C=90°，則

AC

⊥

BC

?（1，k）•（k-1，k+1）=0，得k²+2k-1=0，
∴k=-1±

2

．
綜上所述，當k=1時，△ABC是以A為直角頂點的直角三角形；
當k=-1±

2

時，△ABC是以C為直角頂點的直角三角形．
（2）①當k=1時，

AB

=(1，-1)，

AC

=(1，1)?|

AB

|=|

AC

|=

2

；
②當k=-1+

2

時，

AC

=(1，-1+

2

)，

BC

=(-2+

2

，

2

)，
得|

AC

|=

4-2 2

，|

BC

|=

8-4 2

，|

AC

|≠|

BC

|；
③當k=-1-

2

時，

AC

=(1，-1-

2

)，

BC

=(-2-

2

，

2

)，
得|

AC

|=

4+2 2

，|

BC

|=

8+4 2

，|

AC

|≠|

BC

|；
綜上所述，當k=1時，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形．

點評：本題主要考查向量垂直和點乘之間的關系，即兩向量互相垂直則二者點乘為0．