Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n＝2n²，{b_n}為等比數列，且a₁＝b₁，b₁(a₂－a₁)＝b₂.
(1)求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
(2)設c_n＝a_n b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n.

Answer 1

（1）a_n＝4n－2，b_n＝b₁q^n－1＝2.4^n－1
（2）T_n＝[(6n－5)4ⁿ＋5]

試題分析：解析：　(1)當n≥2時，
a_n＝S_n－S_n－1＝2n²－2(n－1)²＝4n－2，
當n＝1時，a₁＝S₁＝2滿足上式，
故{a_n}的通項式為a_n＝4n－2.                         -2分
設{b_n}的公比為q，由已知條件b₁(a₂－a₁)＝b₂知，b₁＝2，b₂＝8，所以q＝4，
∴b_n＝b₁q^n－1＝2.4^n－1                               5分
(2)∵c_n＝(2n－1)4^n－1，
∴T_n＝c₁＋c₂＋…＋c_n＝[1＋3×4¹＋5×4²＋…＋(2n－1)4^n－1]．
4T_n＝[1×4＋3×4²＋5×4²＋…＋(2n－3)4^n－1＋(2n－1)4ⁿ]．
兩式相減得：
3T_n＝－1－2(4¹＋4²＋4³＋…＋4^n－1)＋(2n－1)4ⁿ
＝[(6n－5)4ⁿ＋5]．
∴T_n＝[(6n－5)4ⁿ＋5].                           12分
點評：主要是考查了等差數列和等比數列的通項公式以及數列的求和 綜合運用，屬于中檔題。