Question

（2013•淄博二模）已知函數f(x)=

3

sinωx•cosωx+cos2ωx-

1

2

(ω＞0)，其最小正周期為

π

2

．
（I）求f（x）的表達式；
（II）將函數f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）+k=0，在區間[0，

π

2

]上有且只有一個實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的表達式為2sin（2ωx+

π

6

），再根據它的最小正周期為

π

2

，求得ω=2，從而求得f（x）的表達式．
（Ⅱ）根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，可得g(x)=sin(2x-

π

3

)，由題意可得函數y=g（x）與y=k在區間[0，

π

2

]上有且只有一個交點，結合正弦函數的圖象求得實數k的取值范圍．

解答：解：（I）f(x)=

3

sinωx•cosωx+cos2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

cos2ωx+1

2

-

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)．…（3分）
由題意知f（x）的最小正周期T=

π

2

，T=

2π

2ω

=

π

ω

=

π

2

，所以ω=2…（5分）
所以，f(x)=sin(4x+

π

6

)…（6分）
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移個

π

8

個單位后，得到y=sin(4x-

π

3

)的圖象，
再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到y=sin(2x-

π

3

)的圖象．
所以g(x)=sin(2x-

π

3

)…（9分）
因為0≤x≤

π

2

，所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
g（x）+k=0 在區間[0，

π

2

]上有且只有一個實數解，即函數y=g（x）與y=k在區間[0，

π

2

]上有且只有一個交點，
由正弦函數的圖象可知-

3

2

≤-k＜

3

2

，或k=-1，
所以-

3

2

＜k≤

3

2

，或k=-1．…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．