Question

已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,一個頂點的坐標為A(0,-1),且其右焦點到直線x-y+2=0的距離為3.

(1)求橢圓的方程.

(2)是否存在斜率為k(k≠0)的直線l,使l與已知曲線交于不同兩點M、N,且有|AM|=|AN|?若存在,求k的范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解析:(1)設橢圓方程為=1(a＞b＞0),

∴b=1,右焦點F(c,0)(c＞0).

∴3=.

∴c=,即a²=b²+c²=3.

故橢圓方程為+y²=1.

(2)假設滿足條件的直線存在且設其方程為y=kx+m(k≠0),

由

消去y得(1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0.

∵Δ=(6km)²-4(1+3k²)(3m²-3)＞0,

∴m²＜3k²+1.                                                         ①

設M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),P(x₀,y₀)是MN的中點,

則x₀==-,y₀=.

∵|AM|=|AN|,∴AP⊥MN.

∴.∴m=.                           ②

由①②得()²＜3k²+1,

即3k⁴-2k²-1＜0,(3k²+1)(k²-1)＜0,

∴k²-1＜0,-1＜k＜1.

又k≠0,∴存在斜率為k,k∈(-1,0)∪(0,1)的直線l,使直線l與橢圓有兩個交點M、N,且使|AM|=|AN|.