Question

如圖所示，已知拋物線C1：x2=y，圓M：x²+（y-4）²=1，點P是拋物線C₁上一點（異于原點），過點P作圓M的兩條切線，交拋物線C₁于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程．

Answer 1

分析：設出點P的坐標，利用過點P作圓M的兩條切線，交拋物線C₁于A，B兩點，設出點A，B的坐標，再設出過P的圓M的切線方程，利用交與拋物線C₁兩點，聯立兩個方程，利用根與系數之間的關系，得到兩切線的斜率的式子，由已知的MP⊥AB，得到方程進而求解．

解答：解：設點P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
由題意得：x₀≠0，x₂≠±1，x₁≠x₂，
設過點P的圓M的切線方程為：y-x₀²=k（x-x₀），
即y=kx-kx₀+x₀²①
則

|kx0+4-x02|

1+k2

=1，
即（x₀²-1）k²+2x₀（4-x₀²）k+（x₀²-4）²-1=0，
設PA，PB的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），則k₁，k₂應該為上述方程的兩個根，
∴k₁+k₂=

2x0(x02-4)

x02-1

，k₁•k₂=

(x02-4)2-1

x02-1

；
代入①得：x²-kx+kx₀-x₀²=0，則x₁，x₂應為此方程的兩個根，
故x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀
∴k_AB=x₁+x₂=k₁+k₂-2x₀=

2x0(x02-4)

x02-1

-2x0，kMP=

x02-4

x0

由于MP⊥AB，∴k_AB•K_MP=-1，
∴[

2x0(x02-4)

x02-1

-2x0]•

x02-4

x0

=-1
∴x0=±

23 5

∴P（±

23 5

，

23

5

），直線l的方程為：y=±

3 115

115

x+4．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．