Question

設函數f(x)=

x2+1

-ax，其中a＞0．
（1）解不等式f（x）≤1
（2）求證：當a≥1時，函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調函數
（3）求使f（x）＞0對一切x∈R^*恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先通過兩邊平方將無理不等式轉換為一元二次不等式，再解含參數的一元二次不等式，通過討論參數a的范圍得不等式f（x）≤1的解集
（2）當a≥1時，通過證明f′（x）在區間[0，+∞）上恒不大于零，即可證明函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調減函數
（3）f（x）＞0對一切x∈R^*恒成立等價于a＜

x2+1

x

=

1+ 1 x2

對一切x∈R^*恒成立，轉化為求函數y=

1+ 1 x2

的下確界，讓a比此函數的下確界不大即可

解答：解：（1）

x2+1

-ax≤1⇒

x2+1

≤ax+1⇒(1-a2)x2-2ax≤0
當a=1時，x∈[0，+∞）
當0＜a＜1時，x∈[0，

2a

1-a2

]
當a＞1時，x∈(-∞，

2a

1-a2

]∪[0，+∞)
證明：（2）∵f/(x)=

x

x2+1

-a＜

x

x2

-a=1-a≤0，
∴函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調減函數
解：（3）f（x）＞0即

x2+1

＞ax⇒a＜

x2+1

x

=

1+ 1 x2

∵

1+ 1 x2

∈（1，+∞）
所以 0＜a≤1

點評：本題考察了含參數的一元二次不等式的解法，利用導數證明函數的單調性，以及利用函數解決不等式恒成立問題，解題時要有轉化化歸的解題思想