Question

關于x的實系數方程x²-ax+2b=0的一根在區間[0，1]上，另一根在區間[1，2]上，則2a+3b的最大值為

 

．

Answer 1

分析：先把根的分布問題轉化為函數的零點分布問題，再借助于函數f（x）=x²-ax+2b的圖象找到函數滿足的條件，再畫出對應的可行域，在可行域內找2a+3b的最大值即可．

解答：解：令f（x）=x²-ax+2b，
據題意知函數在[0，1]，[1，2]內各存在一零點，
結合二次函數圖象可知滿足條件

f(0)≥0 f(1)≤0 f(2)≥0

?

b≥0 1-a+2b≤0 4-2a+2b≥0

在直角坐標系中作出滿足不等式的點（a，b）所在的可行域，
問題轉化為確定線性目標函數：z=2a+3b的最優解，
結合圖形可知當線性目標函數：z=2a+3b位于點C（3，1）即a=3，b=1時，
目標函數取得最大值9．
故答案為：9．

點評：本題考查一元二次方程根的分布問題．在解決這一類型題時，常常是把其對應函數找出來，借助于圖象來解．