Question

（2012•廣元三模）過拋物線y=

1

4

x

2

的準線上任意一點作拋物線的兩條切線，，若切點分別為M、N，則直線MN過定點（　　）

A．（-1，0）

B．（0，-1）

C．（1，0）

D．（0，1）

Answer 1

分析：設M（x₁，

x12

4

），N（x₂，

x22

4

），Q（x₀，-1），由k_MQ=

x1

2

，知x12-2x₁x+4y=0．由此能推導出直線MN過點（0，1）．

解答：解：設M（x1，

x 2 1

4

），N（x₂，

x22

4

），Q（x0，-1），
∵y=

1

4

x²，
∴y′=

1

2

x，
∴切線MQ的斜率為：k_MQ=

x1

2

，
∴MQ的方程為y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁），
∴x12-2x₁x+4y=0．（8分）
∵MQ過Q（x₀，-1），
∴x12-2x₁x₀-4=0，
同理x22-2x₂x₀-4=0，
∴x₁，x₂為方程x²-2xx₀-4=0的兩個根，
∴x₁x₂=-4．（10分）
又k_MN=

x22 4 -  x12 4

x2-x1

=

x1+x2

4

，
∴MN的方程為y-

x12

4

=

x1+x2

4

（x-x₁），
∴y=

x1+x2

4

x+1，
所以直線MN過點（0，1）．（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，分析得到x₁，x₂為方程x²-2xx₀-4=0的兩個根是關鍵，解題時要注意合理地進行等價轉化，屬于難題．