Question

如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的標準方程，長軸長是短軸長的2倍求得a和b的關系，進而把點M代入橢圓方程求得a和b的另一個關系式，然后聯立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）依題意可表示出直線l的方程，與橢圓方程聯立消去y，根據判別式大于0求得m的取值范圍．
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，問題轉化為證明k₁+k₂=0．設出點A，B的坐標，進而表示出兩斜率，根據（2）中的方程式，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而代入到k₁+k₂，化簡整理求得結果為0，原式得證．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
則

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=8 b2=2

∴橢圓方程

x2

8

+

y2

2

=1
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m
又KOM=

1

2

∴l的方程為：y=

1

2

x+m
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

，∴x²+2mx+2m²-4=0
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}
（3）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
而k1+k2=

y1-1

x1-2

，+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
∴k₁+k₂=0
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

點評：本題主要考查了橢圓的性質，橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系等．綜合考查了圓錐曲線與直線的位置關系以及轉化和化歸的思想的運用．