Question

（2013•青浦區(qū)一模）已

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），滿足

m

•

n

=0．
（1）將y表示為x的函數f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C對應的邊長，若f(x)≤f(

A

2

)對所有的x∈R恒成立，且a=2，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據向量的數量積公式可求出f（x）的解析式，然后利用二倍角公式和輔助角公式進行化簡，最后利用周期公式可求出所求；
（2）根據f(x)≤f(

A

2

)對所有的x∈R恒成立可求出角A，然后利用余弦定理求出b與c的等量關系，利用基本不等式和構成三角形的條件可求出b+c的取值范圍．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=0，

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），
∴（2cosx+2

3

sinx）cosx-y=0
即f（x）=（2cosx+2

3

sinx）cosx
=2cos²x+2

3

sinxcosx
=1+cos2x+

3

sin2x
=1+2sin（2x+

π

6

）
T=

2π

2

=π
∴f（x）的最小正周期為π．
（2）∵f(x)≤f(

A

2

)對所有的x∈R恒成立
∴1+2sin（2x+

π

6

）≤1+2sin（A+

π

6

）對所有的x∈R恒成立
即sin（2x+

π

6

）≤sin（A+

π

6

）對所有的x∈R恒成立，而A是三角形中的角
∴A=

π

3

∴cosA=cos

π

3

=

b2+c2-4

2bc

即b²+c²=4+bc即（b+c）²=4+3bc≤4+3(

b+c

2

)2
∴（b+c）²≤16即b+c≤4
而b+c＞a=2
∴2＜b+c≤4即b+c的取值范圍為（2，4]

點評：本題主要考查了平面向量數量積的運算，以及三角函數中的恒等變換應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．