Question

已知函數f（x）=x³－ax²，其中a為實常數.

        （1）設當x∈（0，1）時，函數y = f（x）圖象上任一點P處的切線的斜率為k，若k≥－1，求a的取值范圍；

   （2）當x∈［－1，1］時，求函數y=f（x）+a（x²－3x）的最大值.

 

 

Answer 1

解析：（1）

       由k≥－1，得3x²－2ax+1≥0，即a≤恒成立…………（2分）

       ∴a≤（3x+）_min………………………………………………………………（4分）

       ∵當x∈（0，1）時，3x+≥2=2，當且僅當x=時取等號.

       ∴（3x+）_min =.故a的取值范圍是（－∞，].……………………（6分）

   （2）設g（x）=f（x）+a（x²－3x）=x³－3ax，x∈［－1，1］則

       g′(x)=3x²－3a=3（x²－a）.………………………………………………………（8分）

   ①當a≥1時，∴g′（x）≤0.從而g（x）在［－1，1］上是減函數.

       ∴g（x）的最大值為g（－1）=3a－1.…………………………………………（9分）

   ②當0<a<1時，g′（x）=3（x+）（x－）.

       由g′(x) >0得，x>或x<－：由g′(x)< 0得，－<x<.

       ∴g（x）在［－1，－］，［，1］上增函數，在［－，］上減函數.

       ∴g（x）的極大值為g（－）=2a.…………………………………………（10分）

       由g（－）－g（1）=2a+3a－1=（+1）?（2－1）知

       當2－1<0，即0≤a<時，g（－）<g（1）

       ∴g（x）=g（1）=1－3a．…………………………………………（11分）

       當2－1≥0，即<a<1時，g（－）≥g（1）

       ∴g（x）=g（－）=2a.………………………………………………（12分）

   ③當a≤0時，g′（x）≥0，從而g（x）在［－1，1］上是增函數.

       ∴g（x）=g（1）=1－3a………………………………………………………（13分）

       綜上分析，g（x） ………………………………（14分）