Question

（2012•汕頭二模）如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，
（1）證明：平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁
（2）當二面角B₁-AC₁-D₁的平面角為120°時，求四棱錐A-A₁B₁C₁D₁的體積．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，證明B₁D₁⊥平面AA₁C₁，利用面面垂直的判定，可得平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁；
（2）過點B₁作B₁H⊥AC₁于H，連接D₁H，則D₁H⊥AC₁，先確定正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為1的正方體，再求四棱錐A-A₁B₁C₁D₁的體積

解答：（1）證明：∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁⊥B₁D₁，
∵B₁D₁⊥A₁C₁，AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面AA₁C₁，
∵B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁；
（2）解：過點B₁作B₁H⊥AC₁于H，連接D₁H，則D₁H⊥AC₁，B₁H=D₁H，∴∠B₁HD₁=120°
在△B₁HD₁中，由余弦定理可得B1D12=B1H2+D1H2-2B1H×D1H×cos120°=2
∴B₁H=D₁H=

6

3

，
在Rt△AB₁C₁中，由等面積可得AB₁×B₁C₁=B₁H×AC₁
即

h2+1

×1=

6

3

×

h2+2

∴h=1，
此時，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為1的正方體，四棱錐A-A₁B₁C₁D₁的體積為V=

1

3

×1×1=

1

3

．

點評：本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查四棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，掌握線面垂直、面面垂直的判定定理是關鍵．