Question

（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問6分.（Ⅱ）小問6分）
設各項均為正數的數列{a_n}滿足.
（Ⅰ）若求a₃,a₄,并猜想a₂₀₀₈的值（不需證明）；
（Ⅱ）若對n≥2恒成立，求a₂的值。

Answer 1

（Ⅰ）見解析。
（Ⅱ）

本題主要考查數列、等比數列以及不等式等基本知識，考查學生的探索、化歸的數學思想與推理能力。
（I）因

由此有，故猜想的通項為

從而
(Ⅱ)令x_n=log₂a_n.則，故只需求x₂的值。
設S_n表示x_n的前n項和，則a₁a₂…a_n=,由2≤a₁a₂…a_n＜4得
≤S_n＝x₁+x₂+…+x_n＜2    (n≥2).
因上式對n=2成立，可得≤x₁+x₂，又由a₁=2,得x₁＝1,故x₂≥.
由于a₁=2，(n∈N*),得(n∈N*),即
，
因此數列｛x_n+1+2x_n｝是首項為x₂+2,公比為的等比數列，故
x_n+1+2x_n=(x₂+2) (n∈N*).
將上式對n求和得
S_n+1－x₁+2S_n=(x₂+2)(1++…+)=(x₂+2)(2－)（n≥2）.
因S_n＜2，S_n+1＜2（n≥2）且x₁=1,故
(x₂+2)(2－)＜5（n≥2）.
因此（n≥2）.
下證x₂≤，若不然，假設x₂＞，則由上式知，不等式
2^n－1＜
對n≥2恒成立，但這是不可能的，因此x₂≤.
又x₂≥，故x₂=，所以