Question

已知a＞0，函數f（x）=x³-a，x∈（0，+∞），設x₁＞0，記曲線y=f（x）在點（x₁，f（x₁））處的切線為l，
（1）求l的方程；
（2）設l與x軸交點為（x₂，0）證明：
①x2≥a

1

3

；
②若x2＞a

1

3

則a

1

3

＜x2＜x1．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導數，根據y=f（x）在點（x₁，f（x₁））處的切線的斜率等于在該點的導數值可得答案．
（2）①由（1）中切線方程令y=0求出x₂，然后作差即得證．
②將①中結論代入即可得證．

解答：解：（1）f（x）的導數f'（x）=3x²，
由此得切線l的方程y-（x₁³-a）=3x₁²（x-x₁）；
（2）①依題意，在切線方程中令y=0，
得x2=x1-

x 3 1 -a

3 x 2 1

=

2 x 3 1 +a

3 x 2 1

，
x2-a

1

3

=

1

3 x 2 1

(2

x

3 1

+a-3

x

2 1

a

1

3

)=

1

3 x 2 1

(x1-a

1

3

)2(2x1+a

1

3

)≥0，
∴x2≥a

1

3

，當且僅當x1=a

1

3

時取等成立．
②若x1＞a

1

3

，則x₁³-a＞0，x2-x1=

x 3 1 +a

3 x 2 1

＜0，
且由①x2≥a

1

3

，
所以a

1

3

＜x2＜x1．

點評：本題主要考查導數的幾何意義和不等式的證明．屬中檔題．