Question

設f(x)是定義在[－1，1]上的偶函數，g(x)與f(x)的圖象關于直線x－1＝0對稱，且當x∈[2，3]時，g(x)＝2a·(x－2)－4(a為常數)

(Ⅰ)求函數f(x)的表達式；

(Ⅱ)設a∈(6＋∞)，試判斷f(x)在[－1，1]上的單調性，并求使f(x)圖象的最高點落在直線y＝12上時相應的a值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(x，f(x))是函數f(x)圖象上任一點 ∵f(x)與g(x)的圖象關于直線x＝1對稱，而點(x，f(x))關于x＝1的對稱點為(2－x，f(x))∴點(2－x，f(x))在函數y＝g(x)圖象上 ∴f(x)＝g(2－x)…… 設x∈[－1，0] 2－x∈[2，3] 這時f(x)＝g(2－x)＝－2ax＋ 又f(x)為偶函數 ∴當x∈[0，1]時，f(x)＝g(2－x)＝2ax－ 綜上得f(x)＝ (2)由于f(x)為偶函數，先判斷函數f(x)在[0，1]上的單調性 設0≤＜≤1 則f()－f()＝…＝()[2a－4(＋＋)] ∵0＜＜3 且a＞6 ∴2a－4()＞0 而，∴f()＜f()即f(x)在[0，1]上單調遞增 ∴f(x)在[－1，0]上單調遞減 又∵f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)＝2a－4依題意有2a－4＝12 得a＝8 ∴當a＞6時，a＝8使f(x)圖象上最高點落在y＝12上 或：∵當x∈[0，1]時，f(x)＝2ax－4∴(x)＝2a－又0≤≤1，a＞6 ∴(x)＞0∴(x)在[0，1]上單調遞增，以下同上