Question

如圖點F為雙曲線C的左焦點，左準線l交x軸于點Q，點P是l上的一點|PQ|=|FQ|=1，且線段PF的中點M在雙曲線C的左支上．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若過點F的直線m與雙曲線C的左右兩支分別交于A、B兩點，設

FB

=λ

FA

，當λ∈[6，+∞）時，求直線m的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則c²=a²+b²，|FQ|=c-

a2

c

=1由此能求出雙曲線方程．（2）F（-2，0），設A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由

FB

=λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由

y=k(x+2) x2-y2=2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直線m的斜率k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則c²=a²+b²，|FQ|=c-

a2

c

=1，∴b²=c．------------------------（2分）
又M(-c+

1

2

，

1

2

)在雙曲線上，∴

( 1 2 -c)2

a2

-

( 1 2 )2

b2

=1．
聯立①②③，解得a=b=

2

，c=2．∴雙曲線方程為x²-y²=2．--------（4分）
注：對點M用第二定義，得e=

2

，可簡化計算．
（Ⅱ）F（-2，0），設A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），則
由

FB

=λ

FA

，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由

y=k(x+2) x2-y2=2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．
∴y1+y2=

4k

1-k2

，y1y2=

2k2

1-k2

．△=16k²-8k²（1-k²）=8k²（1+k²）．
由y₂=λy₁，y1+y2=

4k

1-k2

，y1y2=

2k2

1-k2

，---------------------（8分）
消去y₁，y₂，
得

8

1-k2

=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2．------------------------（9分）
∵λ≥6，函數g(λ)=λ+

1

λ

+2在（1，+∞）上單調遞增，
∴

8

1-k2

≥6+

1

6

+2=

49

6

，∴k2≥

1

49

．------------------------（10分）
又直線m與雙曲線的兩支相交，即方程（1-k²）y²-4ky+2k²=0兩根同號，
∴k²＜1．------------------------------------------------（11分）
∴

1

49

≤k2＜1，故．------------------------（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．