Question

已知m∈R，直線l：mx-（m²+1）y=4m和圓C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）求直線l斜率的取值范圍；
（2）直線l能否將圓C分割成弧長的比值為

1

2

的兩段圓弧？為什么？

Answer 1

（1）直線l的方程可化為y=

m

m2+1

x-

4m

m2+1

，此時斜率k=

m

m2+1

，
即km²-m+k=0，∵△≥0，∴1-4k²≥0，
所以，斜率k的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．

（2）不能．由（1知l的方程為y=k（x-4），其中|k|≤

1

2

；
圓C的圓心為C（4，-2），半徑r=2；圓心C到直線l的距離d=

2

1+k2

由|k|≤

1

2

，得d≥

4

5

＞1，即d＞

r

2

，
從而，若l與圓C相交，則圓C截直線l所得的弦所對的圓心角小于

2π

3

，
所以l不能將圓C分割成弧長的比值為

1

2

的兩段弧．