Question

(2007江西，21)設動點P到點A(－1，0)和B(1，0)的距離分別為和，∠APB=2θ，且存在常數λ(0＜λ＜1)，使得．

(1)證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

(2)過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點，試確定λ的范圍，使，其中點O為坐標原點．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)在△PAB中，|AB|=2，則， ，即(常數)， 點P的軌跡C是以A、B為焦點，實軸長的雙曲線，方程為． (2)設，． ①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，M(1，1)，N(1，－1)在雙曲線上，即， 因為0＜λ＜1，所以． ②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k(x－1)．由得：， 由題意知：， 所以，， 于是：， 因為，且M，N在雙曲線右支上， 所以 ． 由①②知，． 解法二：(1)同解法一 (2)設，，MN的中點為． ①當時，， 因為0＜λ＜1，所以； ②當時，． 又．所以； 由得，由第二定義得 所以． 于是由得． 因為，所以， 又0＜λ＜1，解得． 由①②知．

提示：

剖析：本題考查雙曲線的性質以及參數方程的解法．