Question

（2012•靜安區一模）已知2+ai，b+i（其中a，b∈R）是實系數一元二次方程x²+px+q=0的兩個根．
（1）求a，b，p，q的值；
（2）計算：

a+bi

p+qi

．

Answer 1

分析：（1）由于實系數一元二次方程x²+px+q=0仍然滿足韋達定理（一元二次方程根與系數的關系），我們易根據2+ai，b+i是實系數一元二次方程x²+px+q=0在復數范圍內的兩個根，構造關于p，q的方程，解方程即可求出a，b，p，q的值．
（2）根據a，b，p，q的值，利用復數的乘除運算法則，能夠計算

a+bi

p+qi

的值．

解答：解：（1）∵2+ai，b+i（其中a，b∈R）是實系數一元二次方程x²+px+q=0的兩個根，
∴

2+ai+b+i=-p (2+ai)(b+i)=q

，
即

(2+b)+(a+1)i=-p (2b-a)+(ab+2)i=q

，
∴

a+1=0 ab+2=0

，
解得a=-1，b=2，
∴p=-4，q=5，
故b=2，a=-1，p=-4，q=5．（每一個值2分）…（8分）
（2）∵b=2，a=-1，p=-4，q=5，
∴

a+bi

p+qi

=

-1+2i

-4+5i

=

(-1+2i)(-4-5i)

16+25

=

14-3i

41

．…（6分）

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，復數的基本概念，其中根據實系數一元二次方程仍然滿足韋達定理（一元二次方程根與系數的關系），結合已知條件構造關于p，q的方程，是解答本題的關鍵．