Question

學生李明解以下問題已知α，β，?均為銳角，且sinα+sin?=sinβ，cosβ+cos?=cosα求α-β的值
其解法如下：由已知sinα-sinβ=-sin?，cosα-cosβ=cos?，兩式平方相加得2-2cos（α-β）=1
∴cos(α-β)=

1

2

又α，β均銳角
∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

∴α-β=±

π

3

請判斷上述解答是否正確？若不正確請予以指正．

Answer 1

分析：上述解答過程不正確，理由為：由α，β均銳角，得到sin?大于0，可得sinα-sinβ=-sin?＜0，根據正弦函數在[0，

π

2

]為增函數，可得α＜β，故α-β的值為負值，所以利用特殊角的三角函數值求出α-β應為-

π

3

，而不是±

π

3

．

解答：解：上述解答過程不正確，理由為：
由已知sinα-sinβ=-sin?，cosα-cosβ=cos?，兩式平方相加得2-2cos（α-β）=1
∴cos(α-β)=

1

2

，
又α，β均銳角，sinα-sinβ=-sin?＜0，
∴α＜β，
∴-

π

2

＜α-β＜0，
∴α-β=-

π

3

．

點評：此題考查了同角三角函數間基本關系的運用，正弦函數的單調性，以及特殊角的三角函數值，根據題意得出α-β的具體范圍，得到滿足題意的解是本題容易出錯的地方，學生以后求值時應注意．