已知數列
中，
，前
項和
．
(1) 求數列的通項公式；
(2) 設數列
的前項和為
，是否存在實數
，使得
對一切正整數都
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．
（1）
；（2）
.
解析試題分析：本題主要考查等差數列的證明、等差數列的通項公式、累加法、裂項相消法等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，將
中的n用n+1代替得到新的表達式，兩式子相減得到
，再將這個式子中的n用n+1代替，得到一個新的式子，兩式子相減得到
，從而證明了數列為等差數列；第二問，利用第一問的結論，先計算通項
，通過裂項化簡，利用裂項相消法求和，得到，再放縮，與作比較.
試題解析：（1）（解法一）∵
∴
∴
3分
整理得
∴
兩式相減得
5分
即 
∴
，即 7分
∴ 數列是等差數列
且，得
，則公差
∴ 8分
（解法二） ∵
∴
∴
3分
整理得
等式兩邊同時除以
得 
， 5分
即
6分
累加得
得 8分
（2） 由（1）知
∴
10分
∴ 
12分
則要使得對一切正整數都成立，只要
，所以只要
∴ 存在實數，使得對一切正整數都成立，且的最小值為 14分
考點：等差數列的證明、等差數列的通項公式、累加法、裂項相消法.
同步練習強化拓展系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知an + 1 = 2Sn + 2 (n∈N*)．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)在an與an + 1之間插入n個數，使這n + 2個數組成一個公差為dn的等差數列．
①在數列{dn}中是否存在三項dm，dk，dp (其中m，k，p成等差數列)成等比數列？若存在，求出這樣的三項，若不存在，說明理由；
②求證：
．
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中，
，且 
是 
和 
的等差中項，若 
的通項公式；
滿足 
，求數列
中，
，且
，
，
成等差數列.
；
，求數列
的前
項和
.
滿足：
，
.
的各項均為正數，
為其前
項和，若
，
，求
中，
，求數列
中，已知
．
分別為等差數列
的第3項和第5項，試求數列
項和
.
是首項為1，公差為2的等差數列，
表示
項和.
及
是首項為2的等比數列，公比
滿足
，求
.
，那么它的通項公式為an="_________" .