Question

如圖，在三棱錐中，已知△是正三角形，平面，，為的中點，在棱上，且，
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；
（3）若為的中點，問上是否存在一點，使平面？若存在，說明點的位置；若不存在，試說明理由．

Answer 1

略

解一：（1）取AC的中點H，因為 AB＝BC，所以 BH⊥AC．
因為 AF＝3FC，所以 F為CH的中點．
因為 E為BC的中點，所以 EF∥BH．則EF⊥AC．
因為 △BCD是正三角形，所以 DE⊥BC．
因為 AB⊥平面BCD，所以 AB⊥DE．
因為 AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面ABC．所以 DE⊥AC．
因為 DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面DEF
（2）
（3）存在這樣的點N，
當CN＝時，MN∥平面DEF．
連CM，設CM∩DE＝O，連OF．
由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．
所以 當CF＝CN時，MN∥OF．所以 CN＝
解二：建立直角坐標系