Question

（08年咸陽市一模） （14分）如圖，過點P(1,0)作曲線C: 的切線，切點為,設點在x軸上的投影是點；又過點作曲線C的切線，切點為,設在x軸上的投影是；…；依此下去,得到一系列點,,…,,…,設點的橫坐標為.

（Ⅰ）試求數列｛｝的通項公式；（用的代數式表示）

（Ⅱ）求證：

（Ⅲ）求證：（注：）.

 

Answer 1

解析： (Ⅰ) ,若切點是,則

切線方程為.                                       1分

當n=1時,切線過點(1,0),即,得

當n>1時,切線過點,即,解得.

數列是首項為，公比為的等比數列，

故所求通項 .                                            4分    

(Ⅱ) 由（1）知

                                                   9分

(Ⅲ)設,則,

兩式相減得，

.    故.                      14分