Question

．（本小題滿分14分）

設函數(為自然對數的底數)，（）．

（1）證明：；

（2）當時，比較與的大小，并說明理由；

（3）證明：（）．

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（1）證明：設，

所以．

當時，，當時，，當時，．

即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得唯一極小值，

因為，所以對任意實數均有 ．

即，

所以．

（2）解：當時，．

用數學歸納法證明如下：

①當時，由（1）知．

②假設當（）時，對任意均有，

令，，

因為對任意的正實數，，

由歸納假設知，．

即在上為增函數，亦即，

因為，所以．

從而對任意，有．

即對任意，有．

這就是說，當時，對任意，也有．

由①、②知，當時，都有．

（3）證明1：先證對任意正整數，．

由（2）知，當時，對任意正整數，都有．

令，得．

所以．

再證對任意正整數，

．

要證明上式，只需證明對任意正整數，不等式成立．

即要證明對任意正整數，不等式（*）成立．

以下分別用數學歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：

方法1（數學歸納法）：

①當時，成立，所以不等式（*）成立．

②假設當（）時，不等式（*）成立，

即．

則．

因為

，

所以．

這說明當時，不等式（*）也成立．

由①、②知，對任意正整數，不等式（*）都成立．

綜上可知，對任意正整數，不等式

成立．

方法2（基本不等式法）：

因為，

，

……，

，

將以上個不等式相乘，得．

所以對任意正整數，不等式（*）都成立．

綜上可知，對任意正整數，不等式

成立．

 

【解析】略