Question

對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，則稱(chēng)x₀為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)

f(x)＝ax²＋bx＋1(a＞0)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x₁，x₂．

⑴若x₁<1<x₂，且f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝m對(duì)稱(chēng)，求證：<m<1；

⑵若|x₁|<2且|x₁－x₂|＝2，求b的取值范圍．

Answer 1

見(jiàn)解析

解析:

(Ⅰ)證明：g(x)＝f(x)－x＝ax²＋(b－1)x＋1?且a＞0  ∵x₁＜1＜x₂＜2

∴(x₁－1)(x₂－1)＜0即x₁x₂＜(x₁＋x₂)－1           

于是

＞［(x₁＋x₂)－1］＝         

又∵x₁＜1＜x₂＜2  ∴x₁x₂＞x₁于是有ｍ＝(x₁＋x₂)－x₁x₂＜(x₁＋x₂)－x₁＝x₂＜1  ∴＜m＜1              

(Ⅱ)解：由方程＞0，∴x₁x₂同號(hào)

(ⅰ)若0＜x₁＜2則x₂－x₁＝2

∴x₂＝x₁＋2＞2  ∴g(2)＜0

即4a＋2b－1＜0       ①

又(x₂－x₁)²＝     

∴，(∵a＞0)代入①式得

＜3－2b，解之得：b＜             

(ⅱ)若－2＜x₁＜0，則x₂＝－2＋x₁＜－2 ∴g(－2)＜0，即4a－2b＋3＜0  ②

又代入②得＜2b－1解之得b＞

綜上可知b的取值范圍為