Question

設圓x²＋y²－4x－5＝0的弦AB的中點為P(3，1)，求直線AB的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：已知圓的方程為(x－2)2＋y2＝9，可知圓心C的坐標是(2，0)，又知AB弦的中點是P(3，1)，所以kCP＝＝1，而AB垂直CP，所以kAB＝－1．故直線AB的方程是x＋y－4＝0． 　　解法二：設所求直線方程為y－1＝k(x－3)．代入圓的方程，得關于x的二次方程(1＋k2)x2－(6k2－2k＋4)x＋9k2－6k－4＝0，由韋達定理x1＋x2＝＝6，解得k＝－1． 　　故直線AB的方程為x＋y－4＝0． 　　解法三：設所求直線與圓交于A、B兩點，其坐標分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有 　　 　�、冢�①，得(x2＋x1－4)(x2－x1)＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0． 　　又AB的中點坐標為(3，1)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2． 　　∴＝－1，即AB的斜率為－1．故所求方程為x＋y－4＝0．