Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，⊥底面，點在棱上．

（1）求證：平面⊥平面；
（2）當且為的中點時，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）利用線面垂直證明面面垂直；（Ⅱ） ．

試題分析：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
又，∴平面AEC⊥平面PDB．              （6分）
（Ⅱ）方法一：如圖1，設AC∩BD=O，連接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO為AE與平面PDB所成的角，   
∵O，E分別為DB、PB的中點，∴OE∥PD，且OE=PD，
又∵PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，      
在Rt△AOE中，由PD=AB，
設，則，，∴，于是，
即AE與平面PDB所成角的正弦值為．               （12分）
方法二：如圖2，以D為原點建立空間直角坐標系D?xyz，

設，AE與平面PDB所成的角為，
則，，，，
于是，所以，
且平面的法向量，所以，
即AE與平面PDB所成角的正弦值為．               （12分）
點評：直線和平面成角的重點是研究斜線和平面成角，常規求解是采用“作、證、算”，但角不易作出時，可利用構成三條線段的本質特征求解，即分別求斜線段、射影線段、點A到平面的距離求之．