Question

（2012•汕頭一模）如圖，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E為DB的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥BC；
（Ⅱ）若點F是線段BC上的動點，設平面PFE與平面PBE所成的平面角大小為θ，當θ在[0，

π

4

]內取值時，直線PF與平面DBC所成的角為α，求tanα的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）取BC得中點M，連接EM，AM，根據題意證出MA、MB、ME兩兩互相垂直，從而以MA、MB、ME為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．設AB=BC=AC=DC=2，可得A、B、C、D、E、P、M各點的坐標，從而算出向量

BC

、

AE

的坐標，計算它們的數量積得到0，即可證出AE⊥BC；
（II） 設F（0，y，0），且-1≤y≤1．利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組，解出

n1

=（0，1，1）是平面PBE的一個法向量；同樣的方法算出

n2

=（0，y，-1）是平面PEF的一個法向量，利用空間向量的夾角公式結合θ∈[0，

π

4

]建立不等式關系，算出0≤y≤1．而PF與平面DBC所成的角為α，滿足sinα=|cos＜

MA

，

PF

＞|=

3

4+y2

，用同角三角函數的基本關系算出tanα=

3

1+y2

，結合0≤y≤1，可得tanα∈[

6

2

，3]．

解答：解：取BC得中點M，連接EM，AM，
∵直角△BCD中，DC=BC，∴DC⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴DC⊥平面ABC
∵△BCD中，EM是中位線，∴EM∥DC，可得EM⊥平面ABC
∵AM是等邊△ABC的中線，∴AM⊥BC
分別以MA、MB、ME為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
設AB=BC=AC=DC=2，則PA=1，BD=2

2

，AM=

3

可得M（0，0，0），A(

3

，0，0)，B（0，1，0），C（0，-1，0），
D（0，-1，2），E（0，0，1），P(

3

，0，1)，
（Ⅰ）∵

BC

=(0，-2，0)，

AE

=(-

3

，0，1)，
∴

BC

•

AE

=0×(-

3

)+（-2）×0+0×1=0
由此可得

BC

⊥

AE

，即AE⊥BC；------------------（6分）
（Ⅱ） 設F（0，y，0），且-1≤y≤1，
平面PBE的一個法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
平面PEF的一個法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），又有：

BE

=(0，-1，1)，

EP

=(

3

，0，0)，

EF

=(0，y，-1)
∴

n1 • BE =0 n1 • EP =0

即

-y1+z1=0 3 x1=0

，
取y₁=1，得x₁=0，z₁=1，可得

n1

=（0，1，1）
又∵

n2 • EF =y2y-z2=0 n2 • EP = 3 x2=0

，∴取y₂=1，得x₂=0，z₂=y，可得

n2

=（0，1，y），
又∵cos＜

n1

，

n2

＞=|cosθ|∈[

2

2

，1]，θ∈[0，

π

4

]
∴

n1

•

n2

=|

n1

|•|

n2

|cos＜

n1

，

n2

＞，可得

2

2

≤

y+1

2(1+y2)

≤1，解之得0≤y≤1，
又∵向量

MA

是平面DBC的一個法向量，且

MA

=(

3

，0，0)，

PF

=(-

3

，y，-1)，
且sinα=|cos＜

MA

，

PF

＞|=|

MA • PF

| MA || PM||

|=

3

4+y2

∴tanα=

3

1+y2

，結合0≤y≤1，可得tanα∈[

6

2

，3]-------------------------------------（14分）

點評：本題利用建立空間坐標系的方法證明了直線與直線垂直，并研究的平面與平面所成的角和直線與平面所成角的范圍．著重考查了建系、設點、求向量坐標、建立方程組尋找法向量、利用空間向量夾角公式研究面面角和線面角等用解析法研究空間位置關系的一般步驟，屬于中檔題．